MIRAR, OBSERVAR.

EL SENTIDO Y EL SIGNIFICADO EN LAS OPERACIONES ARITMÉTICAS.

El abordaje escolar de las operaciones aritméticas ha variado con el correr de los años. Desde hace setenta años nuestra guía, en el sentido de las operaciones, fue Agustín Ferreiro y se ha ido afinando desde entonces en como se puede emplear una operación en función de la situación en que nos estamos manejando. Esto nos lleva a reconocer frente a que acciones reales de cambios numéricos corresponde sumar, restar, multiplicar, dividir. No se pudo superar el desacuerdo entre una enseñanza apegada a la realidad y una que intenta aproximar al niño a los conceptos de la disciplina científica.
En la década de los 60 se comienza a enseñar matemática a partir de nociones conjuntistas, aparece la explicación puramente matemática: la suma corresponde a la unión de conjuntos disjuntos, la multiplicación es la formación de parejas que se forman en un producto cartesiano. Al desaparecer, en la década de los 90, se vuelve a poner énfasis en el sentido de las operaciones y se intenta ver que pasa con los números cuando se opera.
Surge así la teoría de los campos conceptuales. En la propuesta del psicólogo francés Gerard Vergnaud esta teoría caracteriza dos grandes estructuras operatorias: la aditiva y la multiplicativa.
En la estructura aditiva se dan estos casos:
dos estados iniciales pueden reunirse en un solo estado final. O sea que se juntan, lo que entendemos por suma o total.
un estado inicial puede ser modificado por una transformación para llegar al estado final. A un total se le agrega o se le quita una cantidad logrando así una tercera posibilidad, la operación inversa a la suma.
dos transformaciones pueden reunirse en una única transformación. De esta forma se pueden realizar varias sumas, encontrar totales que se modifican al perder, quitar, una cantidad varias veces.
Sobre este esquema, Vergnaud analiza las posibilidades de ubicación de la incógnita, ya en el estado inicial, ya en la transformación, ya en el estado final o en el último caso en la transformación final, lo que origina una compleja ingeniería de posibilidades de problemas y de dificultades a superar.
No debemos olvidar que este análisis parte de las operaciones de conjuntos, esta teoría es básica para la interpretación de los esquemas analizados. Lo que debemos agregar es la noción de operador que aparece en ambas operaciones binarias.
La teoría de los campos conceptuales intenta ver más allá de las situaciones de la vida cotidiana, en pocas categorías intenta simplificar conceptos básicos de la matemática. Aún así continuamos trabajando los diversos conjuntos numéricos sin atender a la conceptualización de un campo Real en el cual los números integran dos categorías: Racionales e Irracionales, incluyendo dentro de los Racionales (Naturales, Enteros, Decimales, Fraccionarios) a todos los números necesarios ya que los mismos son parte del campo racional. La representación en la recta numérica nos permite ver con claridad estos campos y al representar diversos números se puede apreciar la “densidad” de la misma y comprender su infinitud.
El significado de las operaciones aditivas propone que se aborde la operación como una transformación, sin una situación real de soporte. La suma y por definición su inversa, van a ser posibles en todos los casos cuando las incluimos dentro del campo racional.
Al hablar de operaciones aditivas la idea subyacente es la de acumulación, de integración de dos cantidades en una única que es el resultado de la operación. Esas dos cantidades son tomadas en bloque, no se considera unidad por unidad de ellas. Realizando la representación en la recta numérica el alumno podrá efectuar cualquier suma: (-5) + (-3) y cualquier resta, cuando debe hallar el sumando que falta como: 5 - 8. Aquí estamos entendiendo el juego operatorio entre números, o sea que en este caso corresponde: 5 + (-8)
Como consecuencia de este enfoque ya no se dirá más que la suma siempre da un resultado mayor, o que, a un número chico no se le puede quitar uno más grande. Es imprescindible que se estudie la operación suma en sí misma.
El significado de las operaciones multiplicativas implica la multiplicación y su inversa la división. Siguiendo con el concepto numérico del campo de los racionales, todas las operaciones poseen solución. En el caso de un dividendo menor que el divisor (5:6) podemos encontrar el cociente siempre que cumpla con la condición de que multiplicado por el divisor más el resto da el dividendo. En nuestra educación primaria se comienza muy pronto con los números decimales, por lo cual ya se comienza a considerar este cociente.
Lo que caracteriza a la estructura multiplicativa es que las cantidades que allí se manejan no son tomadas en bloque como en la estructura aditiva.
Cuando se explica la multiplicación como la reducción de una suma de varios sumandos iguales, se omite la comprensión de otras operaciones. Esta forma de hacer razonar al niño ayuda en la comprensión de las propiedades de la multiplicación y para que se comprenda el sentido operatorio, pero nunca se debe dejar de trabajar el significado multiplicativo para ayudar en la comprensión de la operación matemática como tal.
Si uno de los factores es un decimal, por ejemplo 0,4, por cada unidad que ingresa a la operación el resultado mostrará 4 décimos. Esta multiplicación nos da un producto menor que el valor inicial. De ahí que si ambos factores son decimales debe recurrirse a una explicación más clara y correcta.
Una multiplicación, es la operación que por cada unidad que tiene el primer factor muestra, en el producto, tantas unidades como indica el segundo factor.
Si es 5 x 3 en una representación gráfica, en una cuadrícula cartesiana, serán 15 cuadros. Si es 4 x 0,5 el producto corresponde a la mitad de los cuatro cuadros.
Si es 0,5 x 0,2 la cuadrícula quedará representada por 5 décimos de la unidad correspondiente a las filas y 2 décimos de la unidad de la columna.
Esta forma de expresar la multiplicación resulta muy práctica cuando nos referimos a superficies rectangulares y en clases superiores relacionarla con área.
Mientras que el sentido de la multiplicación está relacionado con la situación real donde se aplica, el significado tiene que ver con las transformaciones numéricas que produce. Uno atiende la realidad, otro atiende la matemática.
Definimos la división como la operación inversa de la multiplicación, donde el Dividendo es igual al producto del cociente por el divisor más el resto. En los casos de dividir por ejemplo 1 : 5 recordamos que por cada 5 unidades que tenga el dividendo el cociente mostrará 1 , en este caso no tiene, solo tiene la quinta parte de lo que se exige para llegar a la unidad, en el cociente, mostrará la quinta parte, es decir, 0,2.
Es interesante practicar la división del tipo: 29,15 : 4 si queremos aplicar la definición de división: D= d x c + r entonces hay que pensar en que columna corresponde sumar el resto.


Adua Marinetti.
Seguir.