martes, 27 de mayo de 2008
lunes, 5 de mayo de 2008
martes, 15 de abril de 2008
INVESTIGACIÓN
JUSTIFICACIÓN:
La necesidad de horas para dedicar a la investigación y discusión de temas para una producción conjunta con estudiantes y docentes.
La divulgación de los estudios realizados para una mejor propuesta didáctica de los mismos.
Destacar los aspectos didácticos que promuevan una interrelación con la institución y con otros centros de enseñanza.
Son algunas consideraciones que justifican el encare coordinado de las fortalezas, debilidades, oportunidades y amenazas de este compromiso que adquirimos al pretender encauzar a futuros docentes.
INVESTIGACIÓN:
Toda tarea de investigación supone producción de nuevos conocimientos, aportes de valor para la formación continua.
Se debe priorizar la investigación en el área de la docencia.
La presentación de proyectos de investigación y extensión deben ser concursables.
La culminación de una investigación es la socialización de los mismos, por lo cual debe realizarse una publicación.
Es necesario crear espacios destinados a la formación de investigadores.
LOS CAMINOS:
Quienes están en la docencia, más aún, quienes se enfrentan con los alumnos de la escuela primaria, están siempre buscando nuevos caminos para enriquecer, facilitar, construir, los conocimientos en los niños.
El maestro Gadino es uno de los grandes de nuestro país que siempre intenta llegar a los noveles docentes y a aquellos que a pesar de haber logrado experiencia en el aula están buscando nuevas formas de fortalecer sus enseñanzas.
He aquí que el maestro se pregunta sobre la construcción del aprendizaje, resalta la importancia del diálogo, el valor del encuentro personal, de las actividades realizadas entre varios. Al intentar abrir una comunicación, se busca la construcción del aprendizaje en todos y cada uno de nosotros.
Ya Piaget planteó que el conocimiento es una construcción del individuo. Por eso debemos buscar la necesaria coherencia entre el marco teórico constructivista y la práctica docente. La dinámica de la desequilibración y la reestructuración permanente de esquemas de conocimiento sólo puede ser generada en situaciones reales, cuando el aprendizaje se afinca en un lugar y en un momento, dados. Si y solo si admitimos el carácter dialéctico y situado del acto de aprendizaje el constructivismo alcanza la coherencia interna. Todas estas calidades son imprescindibles: la vinculación, el conflicto, la apertura. Para lograr un aprendizaje constructivo debemos dejar claro el proceso. producto continuo, las acciones y reacciones del mismo. Decir con la visión epistemológica de Kuhn que debemos encontrar el camino para la ruptura de los paradigmas científicos aceptados de modo de provocar un cambio que actualice el saber. Ausubel acuñó la expresión “aprendizaje significativo”, en tanto Vigotski sostuvo la idea del aprendizaje en el medio cultural para el desarrollo del conocimiento. Los estudios de H. Wallon han mostrado el carácter multifacético, las marchas y contramarchas de la construcción de la persona. El nivel de contextualización es un concepto de gran potencia y su manejo docente permitirá estimular en el alumno la estructuración de los contenidos curriculares y de sus propias observaciones. En cuanto al modo de acercamiento a la información, reconocemos que la atribución de significado exige una presentación globalizadora, que apunte a destacar los vínculos entre los hechos o fenómenos, las comparaciones que muestren las semejanzas y diferencias, las relaciones de vecindad en el espacio, de sucesión o simultaneidad en el tiempo, de causa o efecto, que atienda a las transformaciones más que a los estadios de aprendizaje.
Un problema estimula el aprendizaje constructivo si el niño queda implicado en él o si el niño busca interacciones. Lo interesante de ejecutar preguntas disparadoras es saber despertar interrogaciones infantiles que aclaren, especifiquen, busquen datos desconocidos para interrelacionar su hacer con los nuevos conceptos que de esta forma se darán naturalmente y con interés muy despierto.Debemos buscar un docente que sabe a donde quiere llegar y marca sin vacilaciones su rumbo, también planifica, puesto que establece la dirección del crecimiento que estimulará en sus alumnos. Pero ese plan, generalmente, será desbordado, porque él no
sabe de antemano todo lo que va a ocurrir en su clase ese día. Es interesante que exista una reflexión sobre el diálogo educativo para que el docente se convierta en un productor en el campo pedagógico.
Es imprescindible considerar la didáctica de la matemática.
Esta no es un recetario, un modelo para la enseñanza, intenta trasmitir algunas reflexiones. Se pretende estimular la “sorpresa matemática”. Esta sorpresa se basa en provocar conceptos, demostraciones elementales, con interés, reflexión, intriga o admiración.
Es responsabilidad del docente proponer una situación adecuada mediante una pregunta que motive las distintas situaciones de aprendizaje, con conocimientos anteriores que el alumno deberá acomodar y adecuar a las nuevas situaciones, “cuanto más cómoda más debe valer lo que cuesta” (Guy Brousseau). Según este autor, el docente realiza el trabajo inverso del científico: una recontextualización y repersonalización del saber, busca situaciones que den sentido a los conocimientos para enseñar. Pero, si la fase de personalización ha funcionado bien, cuando el alumno ha respondido bien a las situaciones propuestas no sabe que ha producido un conocimiento que podrá utilizar en otras ocasiones. Para transformar sus respuestas y sus conocimientos en saber, deberá, con la ayuda del docente, redespersonalizar y redescontextualizar el saber que ha producido, para poder reconocer en lo que ha hecho algo que tenga carácter universal, un conocimiento cultural reutilizable.”
J. Piaget presentó una teoría coherente de la evolución del conocimiento: “El conocimiento pasaría de un estado a otro de equilibrio a través de un desequilibrio de transición,” en el curso del cual las relaciones consideradas por el sujeto en el estado anterior estarían en contradicción, ya sea por la consideración de relaciones nuevas o por la tentativa, nueva también, de coordinarlas.
Guy Brousseau (1987) ha desarrollado al respecto la teoría de situaciones didácticas. La situación didáctica implica una interacción del estudiante con situaciones problemáticas, una interacción dialéctica donde el sujeto anticipa, finaliza sus acciones y compromete sus conocimientos anteriores; los somete a revisión.
Al respecto Bachelard menciona: “no se trata de considerar los obstáculos externos como la complejidad y la fugacidad de los fenómenos, ni de incriminar la debilidad de los sentidos y del espíritu humano; es en el acto mismo de conocer íntimamente que aparecen por una suerte de necesidad funcional para conocer... Uno conoce contra un conocimiento anterior.”
Existen obstáculos didácticos de diverso origen: ontogénicos, de enseñanza, epistemológicos. Brousseau, introdujo en la didáctica en 1976 esa noción de obstáculo epistemológico como un medio para cambiar el estatus del error.
ESTRATEGIAS:
Según lo expresado por Romberg, Price (1981) “Frente al cambio nominal, optar por el cambio real. Y dentro de este cambio hay que lograr que no sea mecánico, ni ilusorio, sino constructivo. Es decir que implica comprensión y aceptación de los principios y valores que lo sostienen,”
La tarea de cualquier profesor de matemática reside en enseñar matemática. Sin embargo cuando los alumnos no aprenden los profesores nos sentimos insatisfechos, preocupados y debiéramos preguntarnos sobre la falta de éxito, ya que hay dos posibilidades: o responsabilizamos a los alumnos o nos auto- inculpamos, cuestionando la enseñanza. Hay razones intrínsecas de la asignatura, de la preparación del profesor, de la de los alumnos; y también razones que tienen que ver con la forma de aprender de cada persona.
El profesor podrá hacerse adepto a alguna teoría (conductista, cognitiva) y explicar efectos que van en su contra, pero también es cierto que los profesores están más equipados si pueden comprender como se ve la matemática desde la perspectiva del que aprende. Debemos conciliar dos posturas: una ¡no olviden a los alumnos!, y la otra: ¡en matemática unos temas se asientan sobre otros! La tarea del profesor consistirá entonces en tener en cuenta ambas posturas y en eso consiste el “arte de enseñar.”
PLAN:
Siempre intentamos pensar problemas que implican una dificultad a salvar por el docente, sería conveniente pensar un problema para un alumno pequeño que aún no posee estrategias, algoritmos de resolución que lo encasillen en procedimientos de resolución.
Es cuando ingresa a la escuela primaria que este niño se siente libre para expresarse ante una dificultad. Es muy probable que esto ocurra porque la matemática es una ciencia poco trabajada por los maestros de educación inicial o porque el alumno no ha sido presionado con formas fijas de resolución. La estructuración comienza con firmeza en los primeros años escolares. No solamente la maestra/o intenta enseñar procedimientos, en el hogar ocurre algo similar ya que es la forma en la que se intenta incluirlo en la sociedad, en la resolución de situaciones concretas que requieren un procedimiento rápido, sencillo, fácil de corroborar. Además de ser la forma mejor para una comunicación concreta y clara entre los adultos y los niños.
Es claro que cada adulto intente llevar al niño por el camino que él conoce mejor y no podemos negarnos a todos estos factores que influyen en el niño- alumno. Todos estos “bombardeos” continuos que le llegan van a ir plasmando el sentimiento infantil, van a ir dándole armas para su defensa y posterior ataque. Este lenguaje de guerra nos lleva a plantearnos como es que el niño recibe todo, a veces es menos agresivo. Lo bueno sería llegar al niño de la forma más delicada posible, o sea de manera que no lo ponga a la defensiva frente a este mundo nuevo que puede y debe interpretar. No debemos olvidar que el niño necesita comunicarse por lo cual debe lograr una eficaz comprensión de todas las señales que recibe.
La necesidad de horas para dedicar a la investigación y discusión de temas para una producción conjunta con estudiantes y docentes.
La divulgación de los estudios realizados para una mejor propuesta didáctica de los mismos.
Destacar los aspectos didácticos que promuevan una interrelación con la institución y con otros centros de enseñanza.
Son algunas consideraciones que justifican el encare coordinado de las fortalezas, debilidades, oportunidades y amenazas de este compromiso que adquirimos al pretender encauzar a futuros docentes.
INVESTIGACIÓN:
Toda tarea de investigación supone producción de nuevos conocimientos, aportes de valor para la formación continua.
Se debe priorizar la investigación en el área de la docencia.
La presentación de proyectos de investigación y extensión deben ser concursables.
La culminación de una investigación es la socialización de los mismos, por lo cual debe realizarse una publicación.
Es necesario crear espacios destinados a la formación de investigadores.
LOS CAMINOS:
Quienes están en la docencia, más aún, quienes se enfrentan con los alumnos de la escuela primaria, están siempre buscando nuevos caminos para enriquecer, facilitar, construir, los conocimientos en los niños.
El maestro Gadino es uno de los grandes de nuestro país que siempre intenta llegar a los noveles docentes y a aquellos que a pesar de haber logrado experiencia en el aula están buscando nuevas formas de fortalecer sus enseñanzas.
He aquí que el maestro se pregunta sobre la construcción del aprendizaje, resalta la importancia del diálogo, el valor del encuentro personal, de las actividades realizadas entre varios. Al intentar abrir una comunicación, se busca la construcción del aprendizaje en todos y cada uno de nosotros.
Ya Piaget planteó que el conocimiento es una construcción del individuo. Por eso debemos buscar la necesaria coherencia entre el marco teórico constructivista y la práctica docente. La dinámica de la desequilibración y la reestructuración permanente de esquemas de conocimiento sólo puede ser generada en situaciones reales, cuando el aprendizaje se afinca en un lugar y en un momento, dados. Si y solo si admitimos el carácter dialéctico y situado del acto de aprendizaje el constructivismo alcanza la coherencia interna. Todas estas calidades son imprescindibles: la vinculación, el conflicto, la apertura. Para lograr un aprendizaje constructivo debemos dejar claro el proceso. producto continuo, las acciones y reacciones del mismo. Decir con la visión epistemológica de Kuhn que debemos encontrar el camino para la ruptura de los paradigmas científicos aceptados de modo de provocar un cambio que actualice el saber. Ausubel acuñó la expresión “aprendizaje significativo”, en tanto Vigotski sostuvo la idea del aprendizaje en el medio cultural para el desarrollo del conocimiento. Los estudios de H. Wallon han mostrado el carácter multifacético, las marchas y contramarchas de la construcción de la persona. El nivel de contextualización es un concepto de gran potencia y su manejo docente permitirá estimular en el alumno la estructuración de los contenidos curriculares y de sus propias observaciones. En cuanto al modo de acercamiento a la información, reconocemos que la atribución de significado exige una presentación globalizadora, que apunte a destacar los vínculos entre los hechos o fenómenos, las comparaciones que muestren las semejanzas y diferencias, las relaciones de vecindad en el espacio, de sucesión o simultaneidad en el tiempo, de causa o efecto, que atienda a las transformaciones más que a los estadios de aprendizaje.
Un problema estimula el aprendizaje constructivo si el niño queda implicado en él o si el niño busca interacciones. Lo interesante de ejecutar preguntas disparadoras es saber despertar interrogaciones infantiles que aclaren, especifiquen, busquen datos desconocidos para interrelacionar su hacer con los nuevos conceptos que de esta forma se darán naturalmente y con interés muy despierto.Debemos buscar un docente que sabe a donde quiere llegar y marca sin vacilaciones su rumbo, también planifica, puesto que establece la dirección del crecimiento que estimulará en sus alumnos. Pero ese plan, generalmente, será desbordado, porque él no
sabe de antemano todo lo que va a ocurrir en su clase ese día. Es interesante que exista una reflexión sobre el diálogo educativo para que el docente se convierta en un productor en el campo pedagógico.
Es imprescindible considerar la didáctica de la matemática.
Esta no es un recetario, un modelo para la enseñanza, intenta trasmitir algunas reflexiones. Se pretende estimular la “sorpresa matemática”. Esta sorpresa se basa en provocar conceptos, demostraciones elementales, con interés, reflexión, intriga o admiración.
Es responsabilidad del docente proponer una situación adecuada mediante una pregunta que motive las distintas situaciones de aprendizaje, con conocimientos anteriores que el alumno deberá acomodar y adecuar a las nuevas situaciones, “cuanto más cómoda más debe valer lo que cuesta” (Guy Brousseau). Según este autor, el docente realiza el trabajo inverso del científico: una recontextualización y repersonalización del saber, busca situaciones que den sentido a los conocimientos para enseñar. Pero, si la fase de personalización ha funcionado bien, cuando el alumno ha respondido bien a las situaciones propuestas no sabe que ha producido un conocimiento que podrá utilizar en otras ocasiones. Para transformar sus respuestas y sus conocimientos en saber, deberá, con la ayuda del docente, redespersonalizar y redescontextualizar el saber que ha producido, para poder reconocer en lo que ha hecho algo que tenga carácter universal, un conocimiento cultural reutilizable.”
J. Piaget presentó una teoría coherente de la evolución del conocimiento: “El conocimiento pasaría de un estado a otro de equilibrio a través de un desequilibrio de transición,” en el curso del cual las relaciones consideradas por el sujeto en el estado anterior estarían en contradicción, ya sea por la consideración de relaciones nuevas o por la tentativa, nueva también, de coordinarlas.
Guy Brousseau (1987) ha desarrollado al respecto la teoría de situaciones didácticas. La situación didáctica implica una interacción del estudiante con situaciones problemáticas, una interacción dialéctica donde el sujeto anticipa, finaliza sus acciones y compromete sus conocimientos anteriores; los somete a revisión.
Al respecto Bachelard menciona: “no se trata de considerar los obstáculos externos como la complejidad y la fugacidad de los fenómenos, ni de incriminar la debilidad de los sentidos y del espíritu humano; es en el acto mismo de conocer íntimamente que aparecen por una suerte de necesidad funcional para conocer... Uno conoce contra un conocimiento anterior.”
Existen obstáculos didácticos de diverso origen: ontogénicos, de enseñanza, epistemológicos. Brousseau, introdujo en la didáctica en 1976 esa noción de obstáculo epistemológico como un medio para cambiar el estatus del error.
ESTRATEGIAS:
Según lo expresado por Romberg, Price (1981) “Frente al cambio nominal, optar por el cambio real. Y dentro de este cambio hay que lograr que no sea mecánico, ni ilusorio, sino constructivo. Es decir que implica comprensión y aceptación de los principios y valores que lo sostienen,”
La tarea de cualquier profesor de matemática reside en enseñar matemática. Sin embargo cuando los alumnos no aprenden los profesores nos sentimos insatisfechos, preocupados y debiéramos preguntarnos sobre la falta de éxito, ya que hay dos posibilidades: o responsabilizamos a los alumnos o nos auto- inculpamos, cuestionando la enseñanza. Hay razones intrínsecas de la asignatura, de la preparación del profesor, de la de los alumnos; y también razones que tienen que ver con la forma de aprender de cada persona.
El profesor podrá hacerse adepto a alguna teoría (conductista, cognitiva) y explicar efectos que van en su contra, pero también es cierto que los profesores están más equipados si pueden comprender como se ve la matemática desde la perspectiva del que aprende. Debemos conciliar dos posturas: una ¡no olviden a los alumnos!, y la otra: ¡en matemática unos temas se asientan sobre otros! La tarea del profesor consistirá entonces en tener en cuenta ambas posturas y en eso consiste el “arte de enseñar.”
PLAN:
Siempre intentamos pensar problemas que implican una dificultad a salvar por el docente, sería conveniente pensar un problema para un alumno pequeño que aún no posee estrategias, algoritmos de resolución que lo encasillen en procedimientos de resolución.
Es cuando ingresa a la escuela primaria que este niño se siente libre para expresarse ante una dificultad. Es muy probable que esto ocurra porque la matemática es una ciencia poco trabajada por los maestros de educación inicial o porque el alumno no ha sido presionado con formas fijas de resolución. La estructuración comienza con firmeza en los primeros años escolares. No solamente la maestra/o intenta enseñar procedimientos, en el hogar ocurre algo similar ya que es la forma en la que se intenta incluirlo en la sociedad, en la resolución de situaciones concretas que requieren un procedimiento rápido, sencillo, fácil de corroborar. Además de ser la forma mejor para una comunicación concreta y clara entre los adultos y los niños.
Es claro que cada adulto intente llevar al niño por el camino que él conoce mejor y no podemos negarnos a todos estos factores que influyen en el niño- alumno. Todos estos “bombardeos” continuos que le llegan van a ir plasmando el sentimiento infantil, van a ir dándole armas para su defensa y posterior ataque. Este lenguaje de guerra nos lleva a plantearnos como es que el niño recibe todo, a veces es menos agresivo. Lo bueno sería llegar al niño de la forma más delicada posible, o sea de manera que no lo ponga a la defensiva frente a este mundo nuevo que puede y debe interpretar. No debemos olvidar que el niño necesita comunicarse por lo cual debe lograr una eficaz comprensión de todas las señales que recibe.
sábado, 12 de abril de 2008
PROPORCIONALIDAD
RECORDEMOS: REGLA DE TRES.-
Es una estrategia para resolver problemas de proporcionalidad.
Lo importante es descubrir la relación entre el OBJETO y la MAGNITUD: Si es directa (cuando ambos aumentan a disminuyen en el mismo sentido) o inversa (cuando al aumentar una disminuye la otra).
En los problemas propuestos está implícita la proporcionalidad que existe entre dos razones. Por ejemplo: 3/5 = 6/x
razón, razón. Esta igualdad es una proporción.
Cada fracción representa una razón que tiene un
coeficiente de proporcionalidad. 3/5 = 3 : 5 = 0,6 que es el mismo de la otra fracción equivalente: 6/10 = 6 : 10 = 0,6
La forma de resolver la proporción: 3/5 = 6/x es la siguiente: x = 5 * 6 : 3
Hay que recordar además que las fracciones que se pueden escribir con denominador 10 (decimales) o potencia de 10: 100, 1000, 10000, ......... son las que tienen como denominador al 2 o potencias de dos, o, al 5 o potencias de cinco.
Ejemplos: 3/5 = 6/10 = 60/100 = 60 %
½ = 5/10 = 50/100 = 50 %
El lenguaje porcentual es el más usado en el sector bancario.
Las fracciones: ¾, 1/8, 2/25, ... se pueden escribir como fracción decimal:
¾ multiplicando ambas componentes por 25 se obtiene: 5/100
1/8 multiplicando por 125 al numerador y al denominador se obtiene: 125/1000
2/25 al multiplicarlos por 4 se obtiene la fracción decimal equivalente: 8/100
Si el denominador es: 2, vemos que 2 * 5 = 10, si es 4, entonces 4 * 25 = 100, o si es 8 y por
eso: 8 * 125 = 1000 ...
Expresado en potencias tenemos: 2 2; 5 2; 10 2; 2 3; 5 3; 10 3.
Es importante tenerlo en cuenta cada vez que trabajamos con números racionales.
Las fracciones: 2/7, o, 1/9 no pueden expresarse como decimal exacto porque son periódicos.
APLICACIÓN DE REGLA DE TRES.-
1) En las instalaciones de un Banco, trabajan 3 empleados confeccionando fichas, terminan 600 en 2 horas. ¿Cuántas horas demorarán 8 empleados para hacer 2400 fichas, si los primeros rinden 4 mientras que los segundos rinden 3?
2) Dos personas limpian 6 pescados en 3 minutos. Cuántas personas serán necesarias para limpiar 8 pescados en 2 minutos?.
3) En un Banco hay en total 93 empleados que son 72 hombres y el resto personal femenino. Cuántos hombres habría que tomar para que por cada 2 mujeres hayan 8 hombres.
4) En un cuartel 7 soldados pintan una pared en 5 horas. ¿En cuanto aumentaron las dificultades si para pintar otra pared de las mismas dimensiones son necesarias 6 personas durante 7 horas?
5) En la clase de pastelería de una Escuela, 9 alumnos adelantados realizan y decoran 60 tortas en 2 horas. ¿Cuántos alumnos se precisarían para realizar y decorar 80 tortas en 3 horas si tienen ¼ más de dificultades?
6) En un taller, 3 torneros realizan 14 piezas de acero en 7 horas. ¿Cuántas piezas realizarán 5 torneros en 6 horas, si mientras los primeros hacen tantas piezas en 9 horas como los segundos en 5 horas?
7) Un piso monolítico debe ser pulido por 6 obreros en 24 días. Luego de 8 días de trabajo faltan hacer 2/3 de la tarea. Cuántos obreros habrá que tomar para terminar el trabajo en el tiempo previsto, si a partir del 9o. día inclusive las dificultades aumentan en ½?
ENCADENANDO EQUIVALENCIAS .-
8) Para clarificar el vino se utiliza clara de huevo a razón de 90 gr. de clara por cada 100 litros de vino. Cada huevo tiene de promedio 8 gr. de clara y la docena de huevos cuesta $36. ¿Cuánto se gastará para clarificar el vino que producen 2 tonelada de uva ( 1 tonelada = 1000 kg.), si 6 litros de vino se logran con 10 kg. de uva?
9) Con 4 pinos se obtiene la madera suficiente para construir 7 muebles, y con 12 muebles se forman 3 juegos de los mismos. Si 2 juegos se venden en $80000, qué dinero se obtendrá con los árboles que producen 2 montes en 6 años, si en 8 años 3 montes producen 120 pinos.
10) En un campamento 40 personas toman mate y se forman rueda de 5 personas cada una. Por cada 2 ruedas son necesarios 3 litros de agua caliente. si el agua fría al calentarse merma 1/11 de su volumen, cuántos litros de agua habrá que poner a calentar?
REPARTIMIENTO PROPORCIONAL.-
11) Un padre reparte una extensión de campo entre sus 3 hijos en proporción directa a sus edades que suman 55 años entre los tres. Qué edad tiene cada hijo si respectivamente le correspondió a cada uno: 306 há, 374 há y 255há?.
PORCENTAJES Y DESCUENTOS.-
12) En cuánto se vendió una mercadería en la que se ganaron $3400, equivalente al 17% sobre el precio de costo?
13) Se vende una mercadería en $4520. Si en la venta se ganaron $380 más, el beneficio sería de $900 en total. Cuál es el porcentaje que se gana sobre el costo?
14) Dos vehículos pesan en conjunto 4200 kilos. Cuánto pesa cada uno si uno de ellos pesa ¾ de lo que pesa el otro?
15) ¿A los cuantos minutos se hace un gol, en un partido de fútbol, en el que van 2/3 del tiempo que falta para terminar el mismo, cuya duración total es de 90 minutos?
SISTEMA MÉTRICO
16) Cuánto costó engramillar un campo de golf, si el trabajo se realizó a razón de $8,5 el m2, si su superficie total es de 6000 áreas.
17) El perímetro de una alfombra es de 8,2 m. El largo de la misma es 0,7 m más que el ancho. ¿Cuál es el costo si se compró en 50 pesos el Dm2?
18) Una cancha de fútbol tiene un perímetro de 320 metros, siendo el ancho 3/5 del largo. ¿Cuánto costará repararla totalmente, si la mano de obra cuesta 300 pesos el área?
Recordar:
1 área = 1 decámetro2
1 decámetro2 = 100 m2
Es una estrategia para resolver problemas de proporcionalidad.
Lo importante es descubrir la relación entre el OBJETO y la MAGNITUD: Si es directa (cuando ambos aumentan a disminuyen en el mismo sentido) o inversa (cuando al aumentar una disminuye la otra).
En los problemas propuestos está implícita la proporcionalidad que existe entre dos razones. Por ejemplo: 3/5 = 6/x
razón, razón. Esta igualdad es una proporción.
Cada fracción representa una razón que tiene un
coeficiente de proporcionalidad. 3/5 = 3 : 5 = 0,6 que es el mismo de la otra fracción equivalente: 6/10 = 6 : 10 = 0,6
La forma de resolver la proporción: 3/5 = 6/x es la siguiente: x = 5 * 6 : 3
Hay que recordar además que las fracciones que se pueden escribir con denominador 10 (decimales) o potencia de 10: 100, 1000, 10000, ......... son las que tienen como denominador al 2 o potencias de dos, o, al 5 o potencias de cinco.
Ejemplos: 3/5 = 6/10 = 60/100 = 60 %
½ = 5/10 = 50/100 = 50 %
El lenguaje porcentual es el más usado en el sector bancario.
Las fracciones: ¾, 1/8, 2/25, ... se pueden escribir como fracción decimal:
¾ multiplicando ambas componentes por 25 se obtiene: 5/100
1/8 multiplicando por 125 al numerador y al denominador se obtiene: 125/1000
2/25 al multiplicarlos por 4 se obtiene la fracción decimal equivalente: 8/100
Si el denominador es: 2, vemos que 2 * 5 = 10, si es 4, entonces 4 * 25 = 100, o si es 8 y por
eso: 8 * 125 = 1000 ...
Expresado en potencias tenemos: 2 2; 5 2; 10 2; 2 3; 5 3; 10 3.
Es importante tenerlo en cuenta cada vez que trabajamos con números racionales.
Las fracciones: 2/7, o, 1/9 no pueden expresarse como decimal exacto porque son periódicos.
APLICACIÓN DE REGLA DE TRES.-
1) En las instalaciones de un Banco, trabajan 3 empleados confeccionando fichas, terminan 600 en 2 horas. ¿Cuántas horas demorarán 8 empleados para hacer 2400 fichas, si los primeros rinden 4 mientras que los segundos rinden 3?
2) Dos personas limpian 6 pescados en 3 minutos. Cuántas personas serán necesarias para limpiar 8 pescados en 2 minutos?.
3) En un Banco hay en total 93 empleados que son 72 hombres y el resto personal femenino. Cuántos hombres habría que tomar para que por cada 2 mujeres hayan 8 hombres.
4) En un cuartel 7 soldados pintan una pared en 5 horas. ¿En cuanto aumentaron las dificultades si para pintar otra pared de las mismas dimensiones son necesarias 6 personas durante 7 horas?
5) En la clase de pastelería de una Escuela, 9 alumnos adelantados realizan y decoran 60 tortas en 2 horas. ¿Cuántos alumnos se precisarían para realizar y decorar 80 tortas en 3 horas si tienen ¼ más de dificultades?
6) En un taller, 3 torneros realizan 14 piezas de acero en 7 horas. ¿Cuántas piezas realizarán 5 torneros en 6 horas, si mientras los primeros hacen tantas piezas en 9 horas como los segundos en 5 horas?
7) Un piso monolítico debe ser pulido por 6 obreros en 24 días. Luego de 8 días de trabajo faltan hacer 2/3 de la tarea. Cuántos obreros habrá que tomar para terminar el trabajo en el tiempo previsto, si a partir del 9o. día inclusive las dificultades aumentan en ½?
ENCADENANDO EQUIVALENCIAS .-
8) Para clarificar el vino se utiliza clara de huevo a razón de 90 gr. de clara por cada 100 litros de vino. Cada huevo tiene de promedio 8 gr. de clara y la docena de huevos cuesta $36. ¿Cuánto se gastará para clarificar el vino que producen 2 tonelada de uva ( 1 tonelada = 1000 kg.), si 6 litros de vino se logran con 10 kg. de uva?
9) Con 4 pinos se obtiene la madera suficiente para construir 7 muebles, y con 12 muebles se forman 3 juegos de los mismos. Si 2 juegos se venden en $80000, qué dinero se obtendrá con los árboles que producen 2 montes en 6 años, si en 8 años 3 montes producen 120 pinos.
10) En un campamento 40 personas toman mate y se forman rueda de 5 personas cada una. Por cada 2 ruedas son necesarios 3 litros de agua caliente. si el agua fría al calentarse merma 1/11 de su volumen, cuántos litros de agua habrá que poner a calentar?
REPARTIMIENTO PROPORCIONAL.-
11) Un padre reparte una extensión de campo entre sus 3 hijos en proporción directa a sus edades que suman 55 años entre los tres. Qué edad tiene cada hijo si respectivamente le correspondió a cada uno: 306 há, 374 há y 255há?.
PORCENTAJES Y DESCUENTOS.-
12) En cuánto se vendió una mercadería en la que se ganaron $3400, equivalente al 17% sobre el precio de costo?
13) Se vende una mercadería en $4520. Si en la venta se ganaron $380 más, el beneficio sería de $900 en total. Cuál es el porcentaje que se gana sobre el costo?
14) Dos vehículos pesan en conjunto 4200 kilos. Cuánto pesa cada uno si uno de ellos pesa ¾ de lo que pesa el otro?
15) ¿A los cuantos minutos se hace un gol, en un partido de fútbol, en el que van 2/3 del tiempo que falta para terminar el mismo, cuya duración total es de 90 minutos?
SISTEMA MÉTRICO
16) Cuánto costó engramillar un campo de golf, si el trabajo se realizó a razón de $8,5 el m2, si su superficie total es de 6000 áreas.
17) El perímetro de una alfombra es de 8,2 m. El largo de la misma es 0,7 m más que el ancho. ¿Cuál es el costo si se compró en 50 pesos el Dm2?
18) Una cancha de fútbol tiene un perímetro de 320 metros, siendo el ancho 3/5 del largo. ¿Cuánto costará repararla totalmente, si la mano de obra cuesta 300 pesos el área?
Recordar:
1 área = 1 decámetro2
1 decámetro2 = 100 m2
miércoles, 9 de abril de 2008
LA DIDÁCTICA.
PROYECTO ANUAL PARA NIVELES: 3ero. y 2o. de Primaria.-
“DESPERTAR EL PENSAMIENTO MATEMÁTICO”.
FUNDAMENTACIÓN:
La problemática del conocimiento se ha acentuado con el correr de los años, junto a ella consideramos al problema, matemática, como la que más imperativamente necesita un reajuste y un despertar imperativo en nuestros niños.
La resolución de problemas se ha visto en el tapete de todas las discusiones a nivel de docentes de todos los subsistemas de la educación.
A la vez se considera la necesidad de tomar los errores como el puntapié inicial para corregir y enseñar a corregir, sin temores.
Debemos considerar que un problema es un viaje, no un destino.(Grupo 0-1987).
La problematización es toda situación que incluya la posibilidad de una alternativa.(Abagnano- 1974).
Se trata siempre de cuestiones cuya respuesta debe ser necesariamente explorada.
La situación debe ser vivenciada como problema.
Las alternativas pueden ser: teóricas y/o prácticas.
La situación no resuelta e indeterminada podría llamarse problemática, se hace así en el proceso mismo de ser sometida a investigación.(Dewey 1939).
La solución efectiva pasa a conformarse o a constituirse con el hallazgo de los elementos determinantes (en un comienzo desconocida) de la situación inicial.
Un problema es una situación con probabilidades de plantearse infinitas veces y de tener tantas otras soluciones. Suele hablarse de problematicidad del campo donde se presenta el problema.
Didácticamente hablando decimos que estamos frente a un problema cuando:
ü Debe implicar un desafío, las estrategias conocidas no deben ser suficientes para resolverlo.
ü Es necesario que tenga sentido, que le permita imaginar nuevos caminos.
ü La propuesta debe ser abierta para encontrar diferentes estrategias para confrontarlas y extraer conclusiones.
La situación problema debe ser comprendida por todos de manera que puedan predecir una respuesta (elaborar hipótesis).
Debe ofrecer una resistencia suficiente que lleve al alumno a reformularse sobre los conocimientos anteriores.
Es deseable que la solución aprobada no venga solo del docente sino a partir del análisis de la situación misma. En la resolución de problemas se movilizan los contenidos cognitivos, procedimentales y fundamentalmente los actitudinales, en forma integrada.
El docente podrá proponer, como verdadero problema, tareas que desde un punto de vista técnico, como el suyo, no dejan de ser meros ejercicios de aplicación.
Trabajar con situaciones problemáticas que integren los objetivos curriculares con las demandas de la comunidad, los intereses y expectativas de los alumnos.
También debe enseñarse a los alumnos a plantearse problemas. Es una forma de aprender a aprender. Trabajar con situaciones problemáticas constituye una metodología pedagógica pertinente al desarrollo, en el sujeto, de las estrategias metacognitivas que le conducen a la conquista progresiva de la autonomía en el aprendizaje.
Una cosa es plantear al alumno una situación problema que compromete también al docente en la búsqueda de la solución y otra cosa es plantear el conocimiento problematizándolo para involucrar a los alumnos en la búsqueda de una información que ya se tiene.
OBJETIVOS:
· Facilitar procesos personales de valoración para que el educando reflexione y elija actitudes que lo ayuden a fortalecer su propio pensamiento.
· Construir un pensamiento matemático autónomo, justo y solidario, que aporte el conocimiento de nuevas estrategias, buscando hacer coherentes sus apreciaciones y sus acciones.
· Fomentar una actitud crítica e indagadora en formas de trabajos cooperativos, de intercambio, en que la participación de todos ayude a descubrir y comprender los problemas que enfrenta y enfrentará de una sociedad individualista.
· Adquirir habilidades para dialogar, entendiendo por tal un aprendizaje que permita abrir el canal: emisor- receptor para la resolución de problemas.
· Comprendiendo sus errores y aceptándolos, se podrá desarrollar la construcción del propio yo, o sea la conciencia que facilite la abstracción del conocimiento.
· Participación activa, dinámica de los diversos actores para articular una relación armónica y sin temores.
PROBLEMAS. CONSIGNAS.
1. Julia compró para una merienda:
- dos tabletas de chocolate a $8 cada una. 6o. año.
- cuatro botellas de limonada a $6 cada una.
- una bolsa de bizcochos.
Pagó $56. ¿Cuál es el precio de la bolsa de bizcochos?
2. En mi alcancía tengo 32 monedas.
Sólo hay monedas de 2 y de 5 pesos. 5o. año.
Con 32 monedas tengo 97 pesos.
¿Cuántas monedas son de 2 y cuántas de 5 pesos?
3. ¿Cuántos aviones hay en 15 filas de 18 aviones?. 2o.-3o-
4. ¿Cuántos 2 primeros puestos son posibles con 18 caballos en una carrera?. 3o.- 4o.-
5. ¿Qué precio se paga por 0,785 kg de bombones a $ 18 el kg?. 4o.-5o.-
6. Encontrar el error:
+1,24 28,3 0,8 0,4 20 + 15 = 16
0,89 x 10 0 0,2 39 + 24 = 25 4o.-
1,113 28,30
7. La diagonal es el segmento que une vértices opuestos en los cuadriláteros, sino hablamos de vértices no consecutivos. Dibuja.
8. Como los alfajores eran grandes, la mamá de Andrés los cortó por la mitad. Andrés se sirvió 4 trozos. ¿ Cuántos alfajores comió Andrés?.
1o.- a 6o.-
9. Paula compró un alfajor para ella y 3 alfajores para convidar a sus amigas. ¿A cuántas amigas puede convidar si le da medio alfajor a cada una?.
10. Siete amigos se juntaron para festejar un cumpleaños. Fueron a un bar y pidieron 5 sándwiches. Si todos comieron la misma cantidad, ¿qué parte comió cada uno?.
11. Se distribuyen 5 cubos de madera a los alumnos y se les pide que busquen la mayor cantidad posible de maneras de colocar los cubos cara a cara.
12. Se tienen dos puntos fijos A y B, ¿dónde puede estar un punto C para que se forme un triángulo ABC de manera que podamos anticipar qué clase de triángulo es?. Estudiar el problema para cualquier ubicación del punto C.
13. Se vende un terreno de forma rectangular totalmente cercado (185 m de cerco) a un precio de 1250 el metro cuadrado. Sabiendo que el ancho del terreno mide 28 m, calcula el precio de venta de dicho terreno.
14. Compré tres libros: de Historia, de Geografía y de Ciencias Naturales por 293 pesos. El libro de Historia costó 13 pesos más que el de Geografía y éste 15 pesos más que el de Ciencias. ¿Cuál es el precio de cada uno?.
15. Faltan datos pero tú debes aportar una solución posible a partir de la propuesta: Leonardo y Pablo son hermanos. Leonardo nació en 1991, ¿cuál es la diferencia de edad entre ellos?
70 años 70 días 4 años 3 meses.
16. Para festejar su cumpleaños, Pablo llevó varias tortas a su clase que estaban cortadas cada una de ellas en 6 porciones. La maestra y los 29 alumnos se sirvieron un pedazo cada uno. Después de la distribución no sobró ninguna porción. ¿Cuántas tortas había llevado Pablo?
17. Coloca en el texto los datos numéricos donde correspondan:
25 18 33 22
Encendí una vela a las _____ h que medía ______ cm de altura; a las _____h la vela sólo medía ______cm. ¿Cuál es la altura perdida en una hora?.
PROYECTO:
DESPERTAR EL PENSAMIENTO MATEMÁTICO.
Anual.
Adua Marinetti Posada.
“DESPERTAR EL PENSAMIENTO MATEMÁTICO”.
FUNDAMENTACIÓN:
La problemática del conocimiento se ha acentuado con el correr de los años, junto a ella consideramos al problema, matemática, como la que más imperativamente necesita un reajuste y un despertar imperativo en nuestros niños.
La resolución de problemas se ha visto en el tapete de todas las discusiones a nivel de docentes de todos los subsistemas de la educación.
A la vez se considera la necesidad de tomar los errores como el puntapié inicial para corregir y enseñar a corregir, sin temores.
Debemos considerar que un problema es un viaje, no un destino.(Grupo 0-1987).
La problematización es toda situación que incluya la posibilidad de una alternativa.(Abagnano- 1974).
Se trata siempre de cuestiones cuya respuesta debe ser necesariamente explorada.
La situación debe ser vivenciada como problema.
Las alternativas pueden ser: teóricas y/o prácticas.
La situación no resuelta e indeterminada podría llamarse problemática, se hace así en el proceso mismo de ser sometida a investigación.(Dewey 1939).
La solución efectiva pasa a conformarse o a constituirse con el hallazgo de los elementos determinantes (en un comienzo desconocida) de la situación inicial.
Un problema es una situación con probabilidades de plantearse infinitas veces y de tener tantas otras soluciones. Suele hablarse de problematicidad del campo donde se presenta el problema.
Didácticamente hablando decimos que estamos frente a un problema cuando:
ü Debe implicar un desafío, las estrategias conocidas no deben ser suficientes para resolverlo.
ü Es necesario que tenga sentido, que le permita imaginar nuevos caminos.
ü La propuesta debe ser abierta para encontrar diferentes estrategias para confrontarlas y extraer conclusiones.
La situación problema debe ser comprendida por todos de manera que puedan predecir una respuesta (elaborar hipótesis).
Debe ofrecer una resistencia suficiente que lleve al alumno a reformularse sobre los conocimientos anteriores.
Es deseable que la solución aprobada no venga solo del docente sino a partir del análisis de la situación misma. En la resolución de problemas se movilizan los contenidos cognitivos, procedimentales y fundamentalmente los actitudinales, en forma integrada.
El docente podrá proponer, como verdadero problema, tareas que desde un punto de vista técnico, como el suyo, no dejan de ser meros ejercicios de aplicación.
Trabajar con situaciones problemáticas que integren los objetivos curriculares con las demandas de la comunidad, los intereses y expectativas de los alumnos.
También debe enseñarse a los alumnos a plantearse problemas. Es una forma de aprender a aprender. Trabajar con situaciones problemáticas constituye una metodología pedagógica pertinente al desarrollo, en el sujeto, de las estrategias metacognitivas que le conducen a la conquista progresiva de la autonomía en el aprendizaje.
Una cosa es plantear al alumno una situación problema que compromete también al docente en la búsqueda de la solución y otra cosa es plantear el conocimiento problematizándolo para involucrar a los alumnos en la búsqueda de una información que ya se tiene.
OBJETIVOS:
· Facilitar procesos personales de valoración para que el educando reflexione y elija actitudes que lo ayuden a fortalecer su propio pensamiento.
· Construir un pensamiento matemático autónomo, justo y solidario, que aporte el conocimiento de nuevas estrategias, buscando hacer coherentes sus apreciaciones y sus acciones.
· Fomentar una actitud crítica e indagadora en formas de trabajos cooperativos, de intercambio, en que la participación de todos ayude a descubrir y comprender los problemas que enfrenta y enfrentará de una sociedad individualista.
· Adquirir habilidades para dialogar, entendiendo por tal un aprendizaje que permita abrir el canal: emisor- receptor para la resolución de problemas.
· Comprendiendo sus errores y aceptándolos, se podrá desarrollar la construcción del propio yo, o sea la conciencia que facilite la abstracción del conocimiento.
· Participación activa, dinámica de los diversos actores para articular una relación armónica y sin temores.
PROBLEMAS. CONSIGNAS.
1. Julia compró para una merienda:
- dos tabletas de chocolate a $8 cada una. 6o. año.
- cuatro botellas de limonada a $6 cada una.
- una bolsa de bizcochos.
Pagó $56. ¿Cuál es el precio de la bolsa de bizcochos?
2. En mi alcancía tengo 32 monedas.
Sólo hay monedas de 2 y de 5 pesos. 5o. año.
Con 32 monedas tengo 97 pesos.
¿Cuántas monedas son de 2 y cuántas de 5 pesos?
3. ¿Cuántos aviones hay en 15 filas de 18 aviones?. 2o.-3o-
4. ¿Cuántos 2 primeros puestos son posibles con 18 caballos en una carrera?. 3o.- 4o.-
5. ¿Qué precio se paga por 0,785 kg de bombones a $ 18 el kg?. 4o.-5o.-
6. Encontrar el error:
+1,24 28,3 0,8 0,4 20 + 15 = 16
0,89 x 10 0 0,2 39 + 24 = 25 4o.-
1,113 28,30
7. La diagonal es el segmento que une vértices opuestos en los cuadriláteros, sino hablamos de vértices no consecutivos. Dibuja.
8. Como los alfajores eran grandes, la mamá de Andrés los cortó por la mitad. Andrés se sirvió 4 trozos. ¿ Cuántos alfajores comió Andrés?.
1o.- a 6o.-
9. Paula compró un alfajor para ella y 3 alfajores para convidar a sus amigas. ¿A cuántas amigas puede convidar si le da medio alfajor a cada una?.
10. Siete amigos se juntaron para festejar un cumpleaños. Fueron a un bar y pidieron 5 sándwiches. Si todos comieron la misma cantidad, ¿qué parte comió cada uno?.
11. Se distribuyen 5 cubos de madera a los alumnos y se les pide que busquen la mayor cantidad posible de maneras de colocar los cubos cara a cara.
12. Se tienen dos puntos fijos A y B, ¿dónde puede estar un punto C para que se forme un triángulo ABC de manera que podamos anticipar qué clase de triángulo es?. Estudiar el problema para cualquier ubicación del punto C.
13. Se vende un terreno de forma rectangular totalmente cercado (185 m de cerco) a un precio de 1250 el metro cuadrado. Sabiendo que el ancho del terreno mide 28 m, calcula el precio de venta de dicho terreno.
14. Compré tres libros: de Historia, de Geografía y de Ciencias Naturales por 293 pesos. El libro de Historia costó 13 pesos más que el de Geografía y éste 15 pesos más que el de Ciencias. ¿Cuál es el precio de cada uno?.
15. Faltan datos pero tú debes aportar una solución posible a partir de la propuesta: Leonardo y Pablo son hermanos. Leonardo nació en 1991, ¿cuál es la diferencia de edad entre ellos?
70 años 70 días 4 años 3 meses.
16. Para festejar su cumpleaños, Pablo llevó varias tortas a su clase que estaban cortadas cada una de ellas en 6 porciones. La maestra y los 29 alumnos se sirvieron un pedazo cada uno. Después de la distribución no sobró ninguna porción. ¿Cuántas tortas había llevado Pablo?
17. Coloca en el texto los datos numéricos donde correspondan:
25 18 33 22
Encendí una vela a las _____ h que medía ______ cm de altura; a las _____h la vela sólo medía ______cm. ¿Cuál es la altura perdida en una hora?.
PROYECTO:
DESPERTAR EL PENSAMIENTO MATEMÁTICO.
Anual.
Adua Marinetti Posada.
MIRAR, OBSERVAR.
EL SENTIDO Y EL SIGNIFICADO EN LAS OPERACIONES ARITMÉTICAS.
El abordaje escolar de las operaciones aritméticas ha variado con el correr de los años. Desde hace setenta años nuestra guía, en el sentido de las operaciones, fue Agustín Ferreiro y se ha ido afinando desde entonces en como se puede emplear una operación en función de la situación en que nos estamos manejando. Esto nos lleva a reconocer frente a que acciones reales de cambios numéricos corresponde sumar, restar, multiplicar, dividir. No se pudo superar el desacuerdo entre una enseñanza apegada a la realidad y una que intenta aproximar al niño a los conceptos de la disciplina científica.
En la década de los 60 se comienza a enseñar matemática a partir de nociones conjuntistas, aparece la explicación puramente matemática: la suma corresponde a la unión de conjuntos disjuntos, la multiplicación es la formación de parejas que se forman en un producto cartesiano. Al desaparecer, en la década de los 90, se vuelve a poner énfasis en el sentido de las operaciones y se intenta ver que pasa con los números cuando se opera.
Surge así la teoría de los campos conceptuales. En la propuesta del psicólogo francés Gerard Vergnaud esta teoría caracteriza dos grandes estructuras operatorias: la aditiva y la multiplicativa.
En la estructura aditiva se dan estos casos:
dos estados iniciales pueden reunirse en un solo estado final. O sea que se juntan, lo que entendemos por suma o total.
un estado inicial puede ser modificado por una transformación para llegar al estado final. A un total se le agrega o se le quita una cantidad logrando así una tercera posibilidad, la operación inversa a la suma.
dos transformaciones pueden reunirse en una única transformación. De esta forma se pueden realizar varias sumas, encontrar totales que se modifican al perder, quitar, una cantidad varias veces.
Sobre este esquema, Vergnaud analiza las posibilidades de ubicación de la incógnita, ya en el estado inicial, ya en la transformación, ya en el estado final o en el último caso en la transformación final, lo que origina una compleja ingeniería de posibilidades de problemas y de dificultades a superar.
No debemos olvidar que este análisis parte de las operaciones de conjuntos, esta teoría es básica para la interpretación de los esquemas analizados. Lo que debemos agregar es la noción de operador que aparece en ambas operaciones binarias.
La teoría de los campos conceptuales intenta ver más allá de las situaciones de la vida cotidiana, en pocas categorías intenta simplificar conceptos básicos de la matemática. Aún así continuamos trabajando los diversos conjuntos numéricos sin atender a la conceptualización de un campo Real en el cual los números integran dos categorías: Racionales e Irracionales, incluyendo dentro de los Racionales (Naturales, Enteros, Decimales, Fraccionarios) a todos los números necesarios ya que los mismos son parte del campo racional. La representación en la recta numérica nos permite ver con claridad estos campos y al representar diversos números se puede apreciar la “densidad” de la misma y comprender su infinitud.
El significado de las operaciones aditivas propone que se aborde la operación como una transformación, sin una situación real de soporte. La suma y por definición su inversa, van a ser posibles en todos los casos cuando las incluimos dentro del campo racional.
Al hablar de operaciones aditivas la idea subyacente es la de acumulación, de integración de dos cantidades en una única que es el resultado de la operación. Esas dos cantidades son tomadas en bloque, no se considera unidad por unidad de ellas. Realizando la representación en la recta numérica el alumno podrá efectuar cualquier suma: (-5) + (-3) y cualquier resta, cuando debe hallar el sumando que falta como: 5 - 8. Aquí estamos entendiendo el juego operatorio entre números, o sea que en este caso corresponde: 5 + (-8)
Como consecuencia de este enfoque ya no se dirá más que la suma siempre da un resultado mayor, o que, a un número chico no se le puede quitar uno más grande. Es imprescindible que se estudie la operación suma en sí misma.
El significado de las operaciones multiplicativas implica la multiplicación y su inversa la división. Siguiendo con el concepto numérico del campo de los racionales, todas las operaciones poseen solución. En el caso de un dividendo menor que el divisor (5:6) podemos encontrar el cociente siempre que cumpla con la condición de que multiplicado por el divisor más el resto da el dividendo. En nuestra educación primaria se comienza muy pronto con los números decimales, por lo cual ya se comienza a considerar este cociente.
Lo que caracteriza a la estructura multiplicativa es que las cantidades que allí se manejan no son tomadas en bloque como en la estructura aditiva.
Cuando se explica la multiplicación como la reducción de una suma de varios sumandos iguales, se omite la comprensión de otras operaciones. Esta forma de hacer razonar al niño ayuda en la comprensión de las propiedades de la multiplicación y para que se comprenda el sentido operatorio, pero nunca se debe dejar de trabajar el significado multiplicativo para ayudar en la comprensión de la operación matemática como tal.
Si uno de los factores es un decimal, por ejemplo 0,4, por cada unidad que ingresa a la operación el resultado mostrará 4 décimos. Esta multiplicación nos da un producto menor que el valor inicial. De ahí que si ambos factores son decimales debe recurrirse a una explicación más clara y correcta.
Una multiplicación, es la operación que por cada unidad que tiene el primer factor muestra, en el producto, tantas unidades como indica el segundo factor.
Si es 5 x 3 en una representación gráfica, en una cuadrícula cartesiana, serán 15 cuadros. Si es 4 x 0,5 el producto corresponde a la mitad de los cuatro cuadros.
Si es 0,5 x 0,2 la cuadrícula quedará representada por 5 décimos de la unidad correspondiente a las filas y 2 décimos de la unidad de la columna.
Esta forma de expresar la multiplicación resulta muy práctica cuando nos referimos a superficies rectangulares y en clases superiores relacionarla con área.
Mientras que el sentido de la multiplicación está relacionado con la situación real donde se aplica, el significado tiene que ver con las transformaciones numéricas que produce. Uno atiende la realidad, otro atiende la matemática.
Definimos la división como la operación inversa de la multiplicación, donde el Dividendo es igual al producto del cociente por el divisor más el resto. En los casos de dividir por ejemplo 1 : 5 recordamos que por cada 5 unidades que tenga el dividendo el cociente mostrará 1 , en este caso no tiene, solo tiene la quinta parte de lo que se exige para llegar a la unidad, en el cociente, mostrará la quinta parte, es decir, 0,2.
Es interesante practicar la división del tipo: 29,15 : 4 si queremos aplicar la definición de división: D= d x c + r entonces hay que pensar en que columna corresponde sumar el resto.
Adua Marinetti.
Seguir.
El abordaje escolar de las operaciones aritméticas ha variado con el correr de los años. Desde hace setenta años nuestra guía, en el sentido de las operaciones, fue Agustín Ferreiro y se ha ido afinando desde entonces en como se puede emplear una operación en función de la situación en que nos estamos manejando. Esto nos lleva a reconocer frente a que acciones reales de cambios numéricos corresponde sumar, restar, multiplicar, dividir. No se pudo superar el desacuerdo entre una enseñanza apegada a la realidad y una que intenta aproximar al niño a los conceptos de la disciplina científica.
En la década de los 60 se comienza a enseñar matemática a partir de nociones conjuntistas, aparece la explicación puramente matemática: la suma corresponde a la unión de conjuntos disjuntos, la multiplicación es la formación de parejas que se forman en un producto cartesiano. Al desaparecer, en la década de los 90, se vuelve a poner énfasis en el sentido de las operaciones y se intenta ver que pasa con los números cuando se opera.
Surge así la teoría de los campos conceptuales. En la propuesta del psicólogo francés Gerard Vergnaud esta teoría caracteriza dos grandes estructuras operatorias: la aditiva y la multiplicativa.
En la estructura aditiva se dan estos casos:
dos estados iniciales pueden reunirse en un solo estado final. O sea que se juntan, lo que entendemos por suma o total.
un estado inicial puede ser modificado por una transformación para llegar al estado final. A un total se le agrega o se le quita una cantidad logrando así una tercera posibilidad, la operación inversa a la suma.
dos transformaciones pueden reunirse en una única transformación. De esta forma se pueden realizar varias sumas, encontrar totales que se modifican al perder, quitar, una cantidad varias veces.
Sobre este esquema, Vergnaud analiza las posibilidades de ubicación de la incógnita, ya en el estado inicial, ya en la transformación, ya en el estado final o en el último caso en la transformación final, lo que origina una compleja ingeniería de posibilidades de problemas y de dificultades a superar.
No debemos olvidar que este análisis parte de las operaciones de conjuntos, esta teoría es básica para la interpretación de los esquemas analizados. Lo que debemos agregar es la noción de operador que aparece en ambas operaciones binarias.
La teoría de los campos conceptuales intenta ver más allá de las situaciones de la vida cotidiana, en pocas categorías intenta simplificar conceptos básicos de la matemática. Aún así continuamos trabajando los diversos conjuntos numéricos sin atender a la conceptualización de un campo Real en el cual los números integran dos categorías: Racionales e Irracionales, incluyendo dentro de los Racionales (Naturales, Enteros, Decimales, Fraccionarios) a todos los números necesarios ya que los mismos son parte del campo racional. La representación en la recta numérica nos permite ver con claridad estos campos y al representar diversos números se puede apreciar la “densidad” de la misma y comprender su infinitud.
El significado de las operaciones aditivas propone que se aborde la operación como una transformación, sin una situación real de soporte. La suma y por definición su inversa, van a ser posibles en todos los casos cuando las incluimos dentro del campo racional.
Al hablar de operaciones aditivas la idea subyacente es la de acumulación, de integración de dos cantidades en una única que es el resultado de la operación. Esas dos cantidades son tomadas en bloque, no se considera unidad por unidad de ellas. Realizando la representación en la recta numérica el alumno podrá efectuar cualquier suma: (-5) + (-3) y cualquier resta, cuando debe hallar el sumando que falta como: 5 - 8. Aquí estamos entendiendo el juego operatorio entre números, o sea que en este caso corresponde: 5 + (-8)
Como consecuencia de este enfoque ya no se dirá más que la suma siempre da un resultado mayor, o que, a un número chico no se le puede quitar uno más grande. Es imprescindible que se estudie la operación suma en sí misma.
El significado de las operaciones multiplicativas implica la multiplicación y su inversa la división. Siguiendo con el concepto numérico del campo de los racionales, todas las operaciones poseen solución. En el caso de un dividendo menor que el divisor (5:6) podemos encontrar el cociente siempre que cumpla con la condición de que multiplicado por el divisor más el resto da el dividendo. En nuestra educación primaria se comienza muy pronto con los números decimales, por lo cual ya se comienza a considerar este cociente.
Lo que caracteriza a la estructura multiplicativa es que las cantidades que allí se manejan no son tomadas en bloque como en la estructura aditiva.
Cuando se explica la multiplicación como la reducción de una suma de varios sumandos iguales, se omite la comprensión de otras operaciones. Esta forma de hacer razonar al niño ayuda en la comprensión de las propiedades de la multiplicación y para que se comprenda el sentido operatorio, pero nunca se debe dejar de trabajar el significado multiplicativo para ayudar en la comprensión de la operación matemática como tal.
Si uno de los factores es un decimal, por ejemplo 0,4, por cada unidad que ingresa a la operación el resultado mostrará 4 décimos. Esta multiplicación nos da un producto menor que el valor inicial. De ahí que si ambos factores son decimales debe recurrirse a una explicación más clara y correcta.
Una multiplicación, es la operación que por cada unidad que tiene el primer factor muestra, en el producto, tantas unidades como indica el segundo factor.
Si es 5 x 3 en una representación gráfica, en una cuadrícula cartesiana, serán 15 cuadros. Si es 4 x 0,5 el producto corresponde a la mitad de los cuatro cuadros.
Si es 0,5 x 0,2 la cuadrícula quedará representada por 5 décimos de la unidad correspondiente a las filas y 2 décimos de la unidad de la columna.
Esta forma de expresar la multiplicación resulta muy práctica cuando nos referimos a superficies rectangulares y en clases superiores relacionarla con área.
Mientras que el sentido de la multiplicación está relacionado con la situación real donde se aplica, el significado tiene que ver con las transformaciones numéricas que produce. Uno atiende la realidad, otro atiende la matemática.
Definimos la división como la operación inversa de la multiplicación, donde el Dividendo es igual al producto del cociente por el divisor más el resto. En los casos de dividir por ejemplo 1 : 5 recordamos que por cada 5 unidades que tenga el dividendo el cociente mostrará 1 , en este caso no tiene, solo tiene la quinta parte de lo que se exige para llegar a la unidad, en el cociente, mostrará la quinta parte, es decir, 0,2.
Es interesante practicar la división del tipo: 29,15 : 4 si queremos aplicar la definición de división: D= d x c + r entonces hay que pensar en que columna corresponde sumar el resto.
Adua Marinetti.
Seguir.
INTERESANTE.
MEDICIONES.-
El currículo de matemática debe incluir mediciones para que los estudiantes sean capaces de:
ü Entender los atributos de longitud, capacidad, peso (masa), área, volumen, tiempo, temperatura y ángulos.
ü Desarrollar el proceso de medición y los conceptos relacionados con las unidades de medida.
ü Hacer estimaciones de medidas y utilizarlas.
ü Hacer estimaciones y utilizarlas en resolución de problemas y situaciones cotidianas.
Centro de atención.
La medición tiene una importancia central debido a la fuerza con que ayuda a los niños a ver que las matemáticas resultan útiles en la vida diaria y a desarrollar muchos conceptos y destrezas matemáticas. La medida supone un contexto natural en el que introducir la necesidad de aprender fracciones y decimales y anima a los niños a implicarse de forma activa en la resolución de problemas.
Los niños deben entender tanto el atributo que va a medirse como el significado mismo de la medida. Antes tienen que experimentar con diversas actividades que se centren en la comparación directa de objetos, la asignación de diversas unidades y el recuento de unidades. Si se usan prematuramente instrumentos o fórmulas, los niños no llegan a adquirir las estructuras conceptuales que hacen falta para resolver problemas de medición.
Debe darse especial importancia a la estimación ya que ayuda a que el niño entienda los atributos y el proceso de medición y además para que adquiera conciencia del tamaño de las unidades. En estos casos en que la medición no es exacta, debe entender que es apropiado decir: entre ocho y nueve, o alrededor de tres horas.
A medida que se presentan conceptos y destrezas de medición éstos deben ser integrados en el resto de las matemáticas y en otras áreas curriculares.
Discusión.
El primer paso en la construcción de esta base es comprender los muchos atributos de un objeto que son mensurables, como los que se muestran en una caja de cereales:
¿Cuánto cabe? (capacidad)
¿Cómo es de alta? ( longitud)
¿Cómo de grande es el frente? (área)
¿Cuánto pesa? (masa o peso)
¿Cuánto mide por alrededor? (longitud o perímetro)
El niño verá la utilidad de las mediciones si las experiencias del aula se centran en la medida de objetos reales, la construcción de objetos de un tamaño dado y la estimación de mediciones.
Los niños comienzan a desarrollar estructuras conceptuales para este tipo de atributos por medio de experiencias en las que tienen que tomar decisiones sobre el tamaño de objetos, mirándolos, tocándolos o comparándolos directamente.
- Levanta estas dos piedras. ¿Cuál pesa más? Compruébalo con una balanza.
- Dibuja una recta en la arena que sea más corta que el palito.
- Compara los ángulos de estas figuras. ¿Cuál es el más grande?
El proceso de medición es el mismo para cualquier atributo. Elegir una unidad, comparar esa unidad con el objeto y decir el número de unidades.
- La mesa tiene unas seis pajitas de largo. La mesa tiene unos ocho lápices de largo. Hacen falta menos pajitas que lápices porque las pajitas son más largas.
La elección de unidad es arbitraria pero ha de ser de la misma clase de atributo que se va a medir.
El tamaño que tenga la unidad más apropiada dependerá del tamaño del objeto o de la precisión con que se desea medir.
CANTIDAD. MAGNITUD. MEDIDA.-
Como podemos ver, medir no es solo: contar, usar instrumentos, utilizar unidades estándar, utilizar relaciones geométricas, reconocer conjuntos proporcionales, visualizar figuras adecuadamente, calcular, construir....
Se debe tener una concepción geométrica muy firme y clara para interiorizarla a través de la medición.
DINA y Meter Van Hiele advierten que:
“Si a un niño se le presenta la geometría a través de la medición, sin una sólida cimentación en la visualización del primer nivel, el niño estará condenado al fracaso de antemano.”
MAGNITUD.- es un conjunto de elementos igualables y sumables, es decir entre los cuales es posible definir una: a) relación (igualdad- congruencia) con las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva. b) operación (suma) con las propiedades de la suma en naturales. Ejemplo: - los segmentos definen la magnitud LONGITUD.
- los ángulos definen la magnitud AMPLITUD.
CANTIDAD DE UNA MAGNITUD.- Los elementos iguales de una magnitud, diremos que tienen la misma cantidad de una magnitud. Ejemplo: cantidad de longitud, por abreviar se dice solamente longitud.
MEDIDA DE UNA CANTIDAD.-
La razón de dos cantidades de una magnitud es un número real llamado MEDIDA de la primera con respecto a la segunda.
Ej. cfa. = п x D donde п es la medida de la circunferencia con respecto al diámetro.
CANTIDADES CONMENSURABLES E INCONMENSURABLES.-
Si la medida de una cantidad con respecto a otra es un número natural o racional, se dice que las cantidades son conmensurables. Si la medida es un número irracional, se dice que las cantidades son inconmensurables.
UNIDAD DE MEDIDA- MEDIDA.
La unidad de medida es una cantidad de la misma magnitud que el elemento a medir (longitud- longitud, amplitud- amplitud, extensión superficial- extensión superficial ...)
La medida es un número.
La elección de la unidad es convencional. Unidades estándar.
REGISTRO DE LA MEDIDA- APROXIMACIÓN- ERROR.
El registro de la medida es siempre aproximado. El error es la diferencia entre la cantidad y la cantidad medida.
Error por defecto: La cantidad registrada para la medida es menor que la cantidad real.
Error por exceso: Si la cantidad registrada para la medida es mayor que la cantidad real.
Longitud, amplitud y extensión superficial son las principales magnitudes de la geometría del plano y la extensión espacial o capacidad, la más importante de la geometría del espacio. Junto a estas, la física presenta otros muchos ejemplos de magnitudes como: tiempo, velocidad, aceleración, peso o fuerza, trabajo, etc.
Unidades estándar son convenciones internacionales. En Uruguay la Ley 15298 dispone el uso obligatorio en todo el territorio nacional del Sistema Internacional de Medidas.
EQUIVALENCIA. EXTENSIÓN SUPERFICIAL- EXTENSIÓN ESPACIAL.-
Se dice que dos polígonos- poliedros- son equivalentes por descomposición, si pueden descomponerse en un número finito de polígonos- poliedros- respectivamente congruentes. Ejemplo:
son polígonos equivalentes: son poliedros equivalentes:
Esta relación cumple las propiedades: reflexiva, simétrica y transitiva.
Se define suma de polígonos- poliedros- al polígono- poliedro- que resulta de la unión de otros que no tienen más puntos comunes que puntos de sus contornos y esta operación cumple las propiedades de la suma en N.
La equivalencia y la suma permiten definir en el conjunto de los polígonos- poliedros- la magnitud extensión superficial- extensión espacial.
El juego del TANGRAM resulta útil para el estudio de las figuras equivalentes en el plano y permite la introducción del concepto de extensión superficial.
Es interesante, en el trabajo espacial, modelizar los cuerpos físicos para observar las propiedades.
PERÍMETRO.-
Es la medida de la cantidad de longitud del contorno de una figura plana.
(Siempre que realizamos medidas debemos usar el símbolo de aproximadamente igual.)
ÁREA.-
Es la medida de la cantidad de extensión superficial o superficie.
VOLUMEN.-
Es la medida de la cantidad de extensión espacial.
SISTEMA INTERNACIONAL DE MEDIDAS.
Es una cualidad destacable que el S.I. de medidas es decimal, o sea, es un sistema porque sus unidades están ligadas entre sí por determinadas relaciones y es decimal dado que sus múltiplos y submúltiplos se derivan de la unidad principal siguiendo las convenciones de la numeración decimal.
Unidad estándar de longitud: el metro.-
Fue definido originalmente como una diezmillonésima parte de la distancia del polo norte al ecuador, hasta 1960. En la actualidad la nueva unidad estándar de longitud, es la longitud de onda de la luz rojo- anaranjada que emite el elemento kriptón- 86 bajo ciertas condiciones. Un año más tarde se observó que la radiación atómica del elemento mercurio, producía una longitud de onda de 5 a 10 veces más precisa que el método del kriptón. Ha tenido gran importancia en la medida de ciertas herramientas industriales y para componentes de vehículos espaciales.
Dice Lucienne Félix en su libro Matemática Moderna donde estudia la medida: “Como vemos, el problema iniciado por la modesta ambición de medir magnitudes se amplía al infinito”.
Si preguntamos ¿qué es medir un segmento? nos contestarán que es comparar el segmento dado con uno elegido como unidad. Cosa que solamente le permitirá decir si el segmento dado es igual, menor o mayor que el tomado por unidad ( por ejemplo 1cm) pero también puede compararse con 2cm, con 3cm... o con 1mm. Aquí hay mucho más, 2cm es la suma de dos segmentos de 1cm, también puede decirse que es el múltiplo de dicho segmento según el número natural 2, en cuanto a 1mm podemos decir que es la décima parte de 1cm o una parte alícuota del mismo según el número natural n = 10 o es el submúltiplo según n.
El conjunto de todos los segmentos tiene las siguientes características:
1) No es vacío.
2) Puede definirse en él una relación de equivalencia (la igualdad o congruencia) que establece una partición en clases de segmentos iguales.
3) Puede definirse en él una operación binaria, que llamamos adición, que tiene las siguientes propiedades: clausura, asociativa, existencia de neutro (el segmento nulo), conmutativa.
4) También puede definirse una relación de orden.
5) Podemos probar que existe la enésima parte de un segmento cualquiera.
No sólo el conjunto de los segmentos tienen esas características, también lo tienen los ángulos, los polígonos, .... con algunas diferencias.
A la estructura constituida por cada uno de esos conjuntos no vacíos munido por: la operación de adición con las propiedades enunciadas, la relación de orden ( menor que, mayor que, igual a ), la existencia de la enésima parte de cualquiera de sus elementos, la llamaremos MAGNITUD.
A cada una de las clases definidas la llamaremos CANTIDAD de esa magnitud.
El desarrollo que precede tiene como ventaja el isomorfismo entre conjuntos de magnitudes y como se deduce de eso la igualdad de las medidas de cantidades correspondientes con unidades correspondientes, aunque solo sea para cantidades conmensurables. Es una primera aproximación al criterio de proporcionalidad.
El maestro debe ser un “investigador” y saber observar al alumno en el proceso de aprendizaje. Así podrá descubrir los motivos y necesidades que impulsan a los alumnos hacia una conducta determinada. El maestro no motiva, pues los motivos están dentro del niño. Se le presentan infinitas posibilidades cuando tiene habilidad para descubrir y utilizar las poderosas energías que generan los motivos de los educandos. En función de ese conocimiento organizará y propondrá actividades que permitan a los niños canalizar sus motivos para ponerlos al servicio de un aprendizaje más constructivo que el espontáneo. Deberá tener siempre dos ingredientes básicos: el juego y el humor.
El planteo de una situación problemática debe ser de tal naturaleza que el alumno lo interprete como tal manejando los datos necesarios. Si el nivel de incertidumbre del problema es óptimo, las alternativas que surjan podrán ser analizadas sin fatigas hasta encontrar la solución.
Para que una situación problemática sea realmente educativa se tiene que insertar en el campo vital del niño contribuyendo a una reorganización de la relación niño- ambiente que promueva nuevas interrogantes.
Consideramos necesario desmitificar el problema del método. El docente debe tener claro los conceptos. Lo primordial es lograr encontrar procedimientos observando a los propios niños en el proceso de aprendizaje.
BIBLIOGRAFÍA:
Aritmética y Geometría Racional de Rey Pastor y Puig Adam.
Geometría Métrica de Puig Adam.
Matemática de Roberto Aizpun.
Hacia una teoría de la instrucción de Jerome Brumer
Matemática para maestros de Pablo Gabba.
Didáctica de las matemáticas de K. Novell
Ley 15 298. Unidades de medidas. Código de Comercio.
El currículo de matemática debe incluir mediciones para que los estudiantes sean capaces de:
ü Entender los atributos de longitud, capacidad, peso (masa), área, volumen, tiempo, temperatura y ángulos.
ü Desarrollar el proceso de medición y los conceptos relacionados con las unidades de medida.
ü Hacer estimaciones de medidas y utilizarlas.
ü Hacer estimaciones y utilizarlas en resolución de problemas y situaciones cotidianas.
Centro de atención.
La medición tiene una importancia central debido a la fuerza con que ayuda a los niños a ver que las matemáticas resultan útiles en la vida diaria y a desarrollar muchos conceptos y destrezas matemáticas. La medida supone un contexto natural en el que introducir la necesidad de aprender fracciones y decimales y anima a los niños a implicarse de forma activa en la resolución de problemas.
Los niños deben entender tanto el atributo que va a medirse como el significado mismo de la medida. Antes tienen que experimentar con diversas actividades que se centren en la comparación directa de objetos, la asignación de diversas unidades y el recuento de unidades. Si se usan prematuramente instrumentos o fórmulas, los niños no llegan a adquirir las estructuras conceptuales que hacen falta para resolver problemas de medición.
Debe darse especial importancia a la estimación ya que ayuda a que el niño entienda los atributos y el proceso de medición y además para que adquiera conciencia del tamaño de las unidades. En estos casos en que la medición no es exacta, debe entender que es apropiado decir: entre ocho y nueve, o alrededor de tres horas.
A medida que se presentan conceptos y destrezas de medición éstos deben ser integrados en el resto de las matemáticas y en otras áreas curriculares.
Discusión.
El primer paso en la construcción de esta base es comprender los muchos atributos de un objeto que son mensurables, como los que se muestran en una caja de cereales:
¿Cuánto cabe? (capacidad)
¿Cómo es de alta? ( longitud)
¿Cómo de grande es el frente? (área)
¿Cuánto pesa? (masa o peso)
¿Cuánto mide por alrededor? (longitud o perímetro)
El niño verá la utilidad de las mediciones si las experiencias del aula se centran en la medida de objetos reales, la construcción de objetos de un tamaño dado y la estimación de mediciones.
Los niños comienzan a desarrollar estructuras conceptuales para este tipo de atributos por medio de experiencias en las que tienen que tomar decisiones sobre el tamaño de objetos, mirándolos, tocándolos o comparándolos directamente.
- Levanta estas dos piedras. ¿Cuál pesa más? Compruébalo con una balanza.
- Dibuja una recta en la arena que sea más corta que el palito.
- Compara los ángulos de estas figuras. ¿Cuál es el más grande?
El proceso de medición es el mismo para cualquier atributo. Elegir una unidad, comparar esa unidad con el objeto y decir el número de unidades.
- La mesa tiene unas seis pajitas de largo. La mesa tiene unos ocho lápices de largo. Hacen falta menos pajitas que lápices porque las pajitas son más largas.
La elección de unidad es arbitraria pero ha de ser de la misma clase de atributo que se va a medir.
El tamaño que tenga la unidad más apropiada dependerá del tamaño del objeto o de la precisión con que se desea medir.
CANTIDAD. MAGNITUD. MEDIDA.-
Como podemos ver, medir no es solo: contar, usar instrumentos, utilizar unidades estándar, utilizar relaciones geométricas, reconocer conjuntos proporcionales, visualizar figuras adecuadamente, calcular, construir....
Se debe tener una concepción geométrica muy firme y clara para interiorizarla a través de la medición.
DINA y Meter Van Hiele advierten que:
“Si a un niño se le presenta la geometría a través de la medición, sin una sólida cimentación en la visualización del primer nivel, el niño estará condenado al fracaso de antemano.”
MAGNITUD.- es un conjunto de elementos igualables y sumables, es decir entre los cuales es posible definir una: a) relación (igualdad- congruencia) con las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva. b) operación (suma) con las propiedades de la suma en naturales. Ejemplo: - los segmentos definen la magnitud LONGITUD.
- los ángulos definen la magnitud AMPLITUD.
CANTIDAD DE UNA MAGNITUD.- Los elementos iguales de una magnitud, diremos que tienen la misma cantidad de una magnitud. Ejemplo: cantidad de longitud, por abreviar se dice solamente longitud.
MEDIDA DE UNA CANTIDAD.-
La razón de dos cantidades de una magnitud es un número real llamado MEDIDA de la primera con respecto a la segunda.
Ej. cfa. = п x D donde п es la medida de la circunferencia con respecto al diámetro.
CANTIDADES CONMENSURABLES E INCONMENSURABLES.-
Si la medida de una cantidad con respecto a otra es un número natural o racional, se dice que las cantidades son conmensurables. Si la medida es un número irracional, se dice que las cantidades son inconmensurables.
UNIDAD DE MEDIDA- MEDIDA.
La unidad de medida es una cantidad de la misma magnitud que el elemento a medir (longitud- longitud, amplitud- amplitud, extensión superficial- extensión superficial ...)
La medida es un número.
La elección de la unidad es convencional. Unidades estándar.
REGISTRO DE LA MEDIDA- APROXIMACIÓN- ERROR.
El registro de la medida es siempre aproximado. El error es la diferencia entre la cantidad y la cantidad medida.
Error por defecto: La cantidad registrada para la medida es menor que la cantidad real.
Error por exceso: Si la cantidad registrada para la medida es mayor que la cantidad real.
Longitud, amplitud y extensión superficial son las principales magnitudes de la geometría del plano y la extensión espacial o capacidad, la más importante de la geometría del espacio. Junto a estas, la física presenta otros muchos ejemplos de magnitudes como: tiempo, velocidad, aceleración, peso o fuerza, trabajo, etc.
Unidades estándar son convenciones internacionales. En Uruguay la Ley 15298 dispone el uso obligatorio en todo el territorio nacional del Sistema Internacional de Medidas.
EQUIVALENCIA. EXTENSIÓN SUPERFICIAL- EXTENSIÓN ESPACIAL.-
Se dice que dos polígonos- poliedros- son equivalentes por descomposición, si pueden descomponerse en un número finito de polígonos- poliedros- respectivamente congruentes. Ejemplo:
son polígonos equivalentes: son poliedros equivalentes:
Esta relación cumple las propiedades: reflexiva, simétrica y transitiva.
Se define suma de polígonos- poliedros- al polígono- poliedro- que resulta de la unión de otros que no tienen más puntos comunes que puntos de sus contornos y esta operación cumple las propiedades de la suma en N.
La equivalencia y la suma permiten definir en el conjunto de los polígonos- poliedros- la magnitud extensión superficial- extensión espacial.
El juego del TANGRAM resulta útil para el estudio de las figuras equivalentes en el plano y permite la introducción del concepto de extensión superficial.
Es interesante, en el trabajo espacial, modelizar los cuerpos físicos para observar las propiedades.
PERÍMETRO.-
Es la medida de la cantidad de longitud del contorno de una figura plana.
(Siempre que realizamos medidas debemos usar el símbolo de aproximadamente igual.)
ÁREA.-
Es la medida de la cantidad de extensión superficial o superficie.
VOLUMEN.-
Es la medida de la cantidad de extensión espacial.
SISTEMA INTERNACIONAL DE MEDIDAS.
Es una cualidad destacable que el S.I. de medidas es decimal, o sea, es un sistema porque sus unidades están ligadas entre sí por determinadas relaciones y es decimal dado que sus múltiplos y submúltiplos se derivan de la unidad principal siguiendo las convenciones de la numeración decimal.
Unidad estándar de longitud: el metro.-
Fue definido originalmente como una diezmillonésima parte de la distancia del polo norte al ecuador, hasta 1960. En la actualidad la nueva unidad estándar de longitud, es la longitud de onda de la luz rojo- anaranjada que emite el elemento kriptón- 86 bajo ciertas condiciones. Un año más tarde se observó que la radiación atómica del elemento mercurio, producía una longitud de onda de 5 a 10 veces más precisa que el método del kriptón. Ha tenido gran importancia en la medida de ciertas herramientas industriales y para componentes de vehículos espaciales.
Dice Lucienne Félix en su libro Matemática Moderna donde estudia la medida: “Como vemos, el problema iniciado por la modesta ambición de medir magnitudes se amplía al infinito”.
Si preguntamos ¿qué es medir un segmento? nos contestarán que es comparar el segmento dado con uno elegido como unidad. Cosa que solamente le permitirá decir si el segmento dado es igual, menor o mayor que el tomado por unidad ( por ejemplo 1cm) pero también puede compararse con 2cm, con 3cm... o con 1mm. Aquí hay mucho más, 2cm es la suma de dos segmentos de 1cm, también puede decirse que es el múltiplo de dicho segmento según el número natural 2, en cuanto a 1mm podemos decir que es la décima parte de 1cm o una parte alícuota del mismo según el número natural n = 10 o es el submúltiplo según n.
El conjunto de todos los segmentos tiene las siguientes características:
1) No es vacío.
2) Puede definirse en él una relación de equivalencia (la igualdad o congruencia) que establece una partición en clases de segmentos iguales.
3) Puede definirse en él una operación binaria, que llamamos adición, que tiene las siguientes propiedades: clausura, asociativa, existencia de neutro (el segmento nulo), conmutativa.
4) También puede definirse una relación de orden.
5) Podemos probar que existe la enésima parte de un segmento cualquiera.
No sólo el conjunto de los segmentos tienen esas características, también lo tienen los ángulos, los polígonos, .... con algunas diferencias.
A la estructura constituida por cada uno de esos conjuntos no vacíos munido por: la operación de adición con las propiedades enunciadas, la relación de orden ( menor que, mayor que, igual a ), la existencia de la enésima parte de cualquiera de sus elementos, la llamaremos MAGNITUD.
A cada una de las clases definidas la llamaremos CANTIDAD de esa magnitud.
El desarrollo que precede tiene como ventaja el isomorfismo entre conjuntos de magnitudes y como se deduce de eso la igualdad de las medidas de cantidades correspondientes con unidades correspondientes, aunque solo sea para cantidades conmensurables. Es una primera aproximación al criterio de proporcionalidad.
El maestro debe ser un “investigador” y saber observar al alumno en el proceso de aprendizaje. Así podrá descubrir los motivos y necesidades que impulsan a los alumnos hacia una conducta determinada. El maestro no motiva, pues los motivos están dentro del niño. Se le presentan infinitas posibilidades cuando tiene habilidad para descubrir y utilizar las poderosas energías que generan los motivos de los educandos. En función de ese conocimiento organizará y propondrá actividades que permitan a los niños canalizar sus motivos para ponerlos al servicio de un aprendizaje más constructivo que el espontáneo. Deberá tener siempre dos ingredientes básicos: el juego y el humor.
El planteo de una situación problemática debe ser de tal naturaleza que el alumno lo interprete como tal manejando los datos necesarios. Si el nivel de incertidumbre del problema es óptimo, las alternativas que surjan podrán ser analizadas sin fatigas hasta encontrar la solución.
Para que una situación problemática sea realmente educativa se tiene que insertar en el campo vital del niño contribuyendo a una reorganización de la relación niño- ambiente que promueva nuevas interrogantes.
Consideramos necesario desmitificar el problema del método. El docente debe tener claro los conceptos. Lo primordial es lograr encontrar procedimientos observando a los propios niños en el proceso de aprendizaje.
BIBLIOGRAFÍA:
Aritmética y Geometría Racional de Rey Pastor y Puig Adam.
Geometría Métrica de Puig Adam.
Matemática de Roberto Aizpun.
Hacia una teoría de la instrucción de Jerome Brumer
Matemática para maestros de Pablo Gabba.
Didáctica de las matemáticas de K. Novell
Ley 15 298. Unidades de medidas. Código de Comercio.
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